PROYECTO "HOMOVIDENS"
Tecnología en Simuladores Digitales
En matemática es frecuente que memoricen mecánicamente los conceptos sin relacionar los conocimientos que ya poseen y muchas veces no los apliquen, está es una nueva forma de aprendizaje. Navega en la página en el Concepto que deseen.
Estudien la teoría, para luego poder seguir todas las escenas que están en las diferentes páginas y realicen los ejercicios propuestos.
Espero los comentarios y los buenos resultados.
http://www.sceu.frba.utn.edu.ar:80/dav/homovidens.htm
lunes, 13 de octubre de 2008
jueves, 9 de octubre de 2008
ACTIVIDAD DE LA FUNCION LINEAL
ECUACIÓN DE LA RECTA.
ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES
CONTENIDO:
Ecuación de la recta. Pendiente.
Producción de la representación gráfica y de la ecuación de una recta a partir de ciertos datos: dos puntos cualesquiera, un punto y la pendiente, los puntos en los que corta a los ejes.
Conjunto solución de una ecuación lineal con dos variables.
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
El trabajo en torno de este bloque deberá generar las condiciones para que los alumnos puedan resolver ecuaciones con varias variables que comprenda:
- La noción de ecuación como restricción que se impone sobre un cierto dominio y que tiene asociada un conjunto solución;
- La noción de ecuaciones equivalentes y las operaciones que dejan invariante el conjunto solución;
- El recurso de reemplazar en una ecuación para verificar si cierto par de números es solución de la ecuación;
- La resolución de problemas que se modelizan a través de ecuaciones;
- La coordinación entre resolución gráfica y algebraica.
COMENTARIOS
La ecuación de la recta se consideró en primer año, asociada directamente al gráfico
de funciones lineales, en contextos que evocan situaciones "de uso social". Para segundo año se propone el estudio de la propiedad fundamental de las funciones lineales (Δx/Δy = constante) como característica de la forma "recta" y en este caso se trabaja directamente en el contexto de los gráficos cartesianos. El concepto de pendiente requiere un trabajo en tres niveles: ¿cómo y dónde aparece en la fórmula de las funciones? ¿Qué relación tiene con el aspecto del dibujo de la recta (es una medida de la inclinación de la misma)?
¿Cuál es el sentido que adquiere en cada uno de los contextos de los problemas modelizados con funciones lineales?
En el programa se incluye la discusión y el análisis acerca de cómo determinar la
ecuación de una recta que pase por dos puntos, o que pase por un punto y tenga una
cierta pendiente. Estos problemas están planteados porque su discusión enriquece la conceptualización de la recta, no para proveer una lista de fórmulas o algoritmos que el alumno debe recordar para aplicar luego en la resolución de problemas tipo.
El trabajo a partir de problemas en contexto permite enfrentar problemas que se
modelizan con una ecuación con dos variables pero que incorporan restricciones de
manera que resulten un conjunto finito de pares como solución. El tratamiento de conjuntos infinitos implica una complejidad con la cual los alumnos deben enfrentarse, tanto para describir las soluciones de una ecuación como para probar alguna propiedad que debieran cumplir todos los elementos de ese conjunto.
El estudio de las soluciones de una ecuación con dos variables remite al concepto de
función lineal que sin duda sirve de apoyo para su tratamiento. Es interesante destacar aquí que debe ser el alumno, a partir de los requerimientos propios de la tarea que estuviera realizando, el que debe decidir el carácter de dependiente o independiente de cada una de las variables involucradas.
La representación gráfica del conjunto de pares que conforman la solución de una
ecuación lineal con dos variables, permitirá considerarla como "ecuación de una recta",
poniendo en escena la relación entre cada punto de la recta y cada par de números, solución de la ecuación.
En definitiva, se espera que los alumnos adquieran una cierta flexibilidad para pasar,
en relación con una misma situación, de la consideración de una función a una ecuación,
a sus soluciones numéricas y su representación gráfica
ECUACIÓN DE LA RECTA.
ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES
CONTENIDO:
Ecuación de la recta. Pendiente.
Producción de la representación gráfica y de la ecuación de una recta a partir de ciertos datos: dos puntos cualesquiera, un punto y la pendiente, los puntos en los que corta a los ejes.
Conjunto solución de una ecuación lineal con dos variables.
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
El trabajo en torno de este bloque deberá generar las condiciones para que los alumnos puedan resolver ecuaciones con varias variables que comprenda:
- La noción de ecuación como restricción que se impone sobre un cierto dominio y que tiene asociada un conjunto solución;
- La noción de ecuaciones equivalentes y las operaciones que dejan invariante el conjunto solución;
- El recurso de reemplazar en una ecuación para verificar si cierto par de números es solución de la ecuación;
- La resolución de problemas que se modelizan a través de ecuaciones;
- La coordinación entre resolución gráfica y algebraica.
COMENTARIOS
La ecuación de la recta se consideró en primer año, asociada directamente al gráfico
de funciones lineales, en contextos que evocan situaciones "de uso social". Para segundo año se propone el estudio de la propiedad fundamental de las funciones lineales (Δx/Δy = constante) como característica de la forma "recta" y en este caso se trabaja directamente en el contexto de los gráficos cartesianos. El concepto de pendiente requiere un trabajo en tres niveles: ¿cómo y dónde aparece en la fórmula de las funciones? ¿Qué relación tiene con el aspecto del dibujo de la recta (es una medida de la inclinación de la misma)?
¿Cuál es el sentido que adquiere en cada uno de los contextos de los problemas modelizados con funciones lineales?
En el programa se incluye la discusión y el análisis acerca de cómo determinar la
ecuación de una recta que pase por dos puntos, o que pase por un punto y tenga una
cierta pendiente. Estos problemas están planteados porque su discusión enriquece la conceptualización de la recta, no para proveer una lista de fórmulas o algoritmos que el alumno debe recordar para aplicar luego en la resolución de problemas tipo.
El trabajo a partir de problemas en contexto permite enfrentar problemas que se
modelizan con una ecuación con dos variables pero que incorporan restricciones de
manera que resulten un conjunto finito de pares como solución. El tratamiento de conjuntos infinitos implica una complejidad con la cual los alumnos deben enfrentarse, tanto para describir las soluciones de una ecuación como para probar alguna propiedad que debieran cumplir todos los elementos de ese conjunto.
El estudio de las soluciones de una ecuación con dos variables remite al concepto de
función lineal que sin duda sirve de apoyo para su tratamiento. Es interesante destacar aquí que debe ser el alumno, a partir de los requerimientos propios de la tarea que estuviera realizando, el que debe decidir el carácter de dependiente o independiente de cada una de las variables involucradas.
La representación gráfica del conjunto de pares que conforman la solución de una
ecuación lineal con dos variables, permitirá considerarla como "ecuación de una recta",
poniendo en escena la relación entre cada punto de la recta y cada par de números, solución de la ecuación.
En definitiva, se espera que los alumnos adquieran una cierta flexibilidad para pasar,
en relación con una misma situación, de la consideración de una función a una ecuación,
a sus soluciones numéricas y su representación gráfica
martes, 7 de octubre de 2008
FUNCION LINEAL
FUNCION LINEAL
Se llama función lineal a toda función del tipo
f(x)=ax+b
La gráfica de la función polinómica de 1º grado f(x)=ax+b , a y b son números reales .
Son rectas, "hacia arriba" si a>0 o sea la pendiente es positiva.
Y son rectas "hacia abajo" si a<0, o sea la pendiente es negativa.
a determina la pendiente de la recta y b nos da un punto de la recta que corta con el eje y. Por tanto, el coeficiente de x, a, determina, salvo traslación, la gráfica de f(x)=ax+b.
Pendiente: Llamamos pendiente de una recta al aumento o disminución de la variable y, por cada aumento unitario de de la variable x.
Podemos observar que la pendiente es el número que multiplica a la variable x, o sea, a = y/x en donde y mide el cambio en el eje y, x mide el cambio en el eje x.
Ordenada al origen: Toda recta que no sea vertical, corta al eje y en un punto en el cual x=0, a la imagen del cero, la llamamos ordenada al origen, por eso planteamos para x=0
f(x)=ax+b → f(0)=a.0+b =b→a=pendiente ; b= ordenada al origen
y = m * x
Vamos a aprovechar tu conocimiento en funciones y que lo asocies a la siguiente Representación Gráfica.
Debes relacionar los puntos con sus coordenadas y la expresión analítica, o sea la Pendiente con respecto a los ejes
ACTIVIDAD 1) Reemplaza m puedes ver como varía la función lineal, remplaza valores enteros y fraccionarios, tanto positivos y negativos
y registra las diferencias que notaste.
Remmplazando m hallar los siguientes gráficos
y= 2.x ; y=3.x ; y=4.x ; y= 1/ 2 ; y= 2/3 ; y= -2.x ; y =-3.x ; y=-4.x ; y= -1/ 2 ; y= -2/3
ACTIVIDAD 2)
INECUACIONES de 1er grado con dos variables
Sea la siguiente inecuación: 2x + y - 4 < 0,
¿Cuántas variables aparecen en ella?
¿Cuáles son?
¿De qué grado es el polinomio que vemos en el primer miembro de la desigualdad?
Se trata de una inecuación de 1er grado con dos variables.
A diferencia de las ecuaciones, ya no se encuentra una única solución que la satisfaga, sino que se debe determinar un conjunto solución.
¿Cómo determinar el conjunto solución?
a) Despeja y :
y < -2x + 4
b) Representa la recta correspondiente a la ecuación y = -2x + 4:
Cualquier punto (x,y) pertenencerá a la recta si y sólo si
y = - 2x + 4
Del mismo modo, cualquier punto (x,y) pertenecerá al gráfico de la desigualdad, si y sólo si
y < - 2x +4
Para graficar deberás tener en cuenta que si:
y < m x + b ó y > m x + b
la recta no pertenece al semiplano buscado, por lo tanto la gráfica será una línea de puntos como lo indica en la escena.
En cambio si:
la recta pertenece al semiplano buscado, por lo tanto la gráfica será una línea llena.
Si se quiere determinar cuáles son los puntos que pertenecen al semiplano buscado, se deberá determinar los pares ( x , y ) que cumplan con la condición y < -2.x + 4
ACTIVIDAD 3)
A modo de ejemplo:
(3;1) ® ¿ 1 < (-2) . 3 + 4 ?, no Þ (3;1) Ï S
(4;3) ® ¿ 3 < (-2) . 4 + 4 ?, no Þ (3;1) Ï S
(-2 ; -1) ® ¿ -1 < (-2) . (-2) + 4 ?, si Þ (-2 ; -1) Î S
(-4 ; -4) ® ¿ -4 < (-2) . (-4) + 4 ?, si Þ (-4 ; -4) Î S
Sea ahora la siguiente inecuación: 3x – y £ 4
Si se quiere encontrar el conjunto solución primero se deberá despejar la y: – y £ -3x + 1
Se multiplica por (-1), con lo cual se debe también cambiar el sentido de la desigualdad y ³ 3x – 1
Se representa la recta: y = 3x – 1
Luego se buscan puntos que satisfagan la inecuación.
Por último se raya el semiplano buscado, teniendo en cuenta el signo de la desigualdad.
ACTIVIDAD 4): (Representación gráfica de la inecuación anterior)
a) Escribe en tu carpeta la pendiente y la ordenada al origen de la recta
y = 3x – 1.
b) Escribe ahora 4 puntos que pertenezcan al semiplano buscado.
c) Compruébalo en el simulador realizando la actividad 5. Si los valores que indicaste son correctos verás sombreado el semiplano buscado.
Espero tus comentarios y la entrega del trabajo práctico
Resuelve las siguientes ecuaciones.
1) 6 x - 8 = 58
6 x = 58 + 8
ejercicio 6 x = 66
x = 66 / 6
x = 11
comprobación
6 ( 11 ) - 8 = 58
66 - 8 = 58
58 = 58
2) 6 x - 8 = 58
y comprobación
3) 2 x + 9 = 23
y comprobación
(
4) 9 x + 9 = 45
y comprobación
5) 5 x + 7 = 77
y comprobación
6) 9 x + 7 = 34
y comprobación
7) x + 9 = 13
y comprobación
8) x - 9 = 105 =
y comprobación
9) x + 6 = 72
y comprobación
10) x - 5 = 7
y comprobación
11) x - 1 = 26
y comprobación
Entregar en una semana.
Se llama función lineal a toda función del tipo
f(x)=ax+b
La gráfica de la función polinómica de 1º grado f(x)=ax+b , a y b son números reales .
Son rectas, "hacia arriba" si a>0 o sea la pendiente es positiva.
Y son rectas "hacia abajo" si a<0, o sea la pendiente es negativa.
a determina la pendiente de la recta y b nos da un punto de la recta que corta con el eje y. Por tanto, el coeficiente de x, a, determina, salvo traslación, la gráfica de f(x)=ax+b.
Pendiente: Llamamos pendiente de una recta al aumento o disminución de la variable y, por cada aumento unitario de de la variable x.
Podemos observar que la pendiente es el número que multiplica a la variable x, o sea, a = y/x en donde y mide el cambio en el eje y, x mide el cambio en el eje x.
Ordenada al origen: Toda recta que no sea vertical, corta al eje y en un punto en el cual x=0, a la imagen del cero, la llamamos ordenada al origen, por eso planteamos para x=0
f(x)=ax+b → f(0)=a.0+b =b→a=pendiente ; b= ordenada al origen
y = m * x
Vamos a aprovechar tu conocimiento en funciones y que lo asocies a la siguiente Representación Gráfica.
Debes relacionar los puntos con sus coordenadas y la expresión analítica, o sea la Pendiente con respecto a los ejes
ACTIVIDAD 1) Reemplaza m puedes ver como varía la función lineal, remplaza valores enteros y fraccionarios, tanto positivos y negativos
y registra las diferencias que notaste.
Remmplazando m hallar los siguientes gráficos
y= 2.x ; y=3.x ; y=4.x ; y= 1/ 2 ; y= 2/3 ; y= -2.x ; y =-3.x ; y=-4.x ; y= -1/ 2 ; y= -2/3
ACTIVIDAD 2)
INECUACIONES de 1er grado con dos variables
Sea la siguiente inecuación: 2x + y - 4 < 0,
¿Cuántas variables aparecen en ella?
¿Cuáles son?
¿De qué grado es el polinomio que vemos en el primer miembro de la desigualdad?
Se trata de una inecuación de 1er grado con dos variables.
A diferencia de las ecuaciones, ya no se encuentra una única solución que la satisfaga, sino que se debe determinar un conjunto solución.
¿Cómo determinar el conjunto solución?
a) Despeja y :
y < -2x + 4
b) Representa la recta correspondiente a la ecuación y = -2x + 4:
Cualquier punto (x,y) pertenencerá a la recta si y sólo si
y = - 2x + 4
Del mismo modo, cualquier punto (x,y) pertenecerá al gráfico de la desigualdad, si y sólo si
y < - 2x +4
Para graficar deberás tener en cuenta que si:
y < m x + b ó y > m x + b
la recta no pertenece al semiplano buscado, por lo tanto la gráfica será una línea de puntos como lo indica en la escena.
En cambio si:
la recta pertenece al semiplano buscado, por lo tanto la gráfica será una línea llena.
Si se quiere determinar cuáles son los puntos que pertenecen al semiplano buscado, se deberá determinar los pares ( x , y ) que cumplan con la condición y < -2.x + 4
ACTIVIDAD 3)
A modo de ejemplo:
(3;1) ® ¿ 1 < (-2) . 3 + 4 ?, no Þ (3;1) Ï S
(4;3) ® ¿ 3 < (-2) . 4 + 4 ?, no Þ (3;1) Ï S
(-2 ; -1) ® ¿ -1 < (-2) . (-2) + 4 ?, si Þ (-2 ; -1) Î S
(-4 ; -4) ® ¿ -4 < (-2) . (-4) + 4 ?, si Þ (-4 ; -4) Î S
Sea ahora la siguiente inecuación: 3x – y £ 4
Si se quiere encontrar el conjunto solución primero se deberá despejar la y: – y £ -3x + 1
Se multiplica por (-1), con lo cual se debe también cambiar el sentido de la desigualdad y ³ 3x – 1
Se representa la recta: y = 3x – 1
Luego se buscan puntos que satisfagan la inecuación.
Por último se raya el semiplano buscado, teniendo en cuenta el signo de la desigualdad.
ACTIVIDAD 4): (Representación gráfica de la inecuación anterior)
a) Escribe en tu carpeta la pendiente y la ordenada al origen de la recta
y = 3x – 1.
b) Escribe ahora 4 puntos que pertenezcan al semiplano buscado.
c) Compruébalo en el simulador realizando la actividad 5. Si los valores que indicaste son correctos verás sombreado el semiplano buscado.
Espero tus comentarios y la entrega del trabajo práctico
Resuelve las siguientes ecuaciones.
1) 6 x - 8 = 58
6 x = 58 + 8
ejercicio 6 x = 66
x = 66 / 6
x = 11
comprobación
6 ( 11 ) - 8 = 58
66 - 8 = 58
58 = 58
2) 6 x - 8 = 58
y comprobación
3) 2 x + 9 = 23
y comprobación
(
4) 9 x + 9 = 45
y comprobación
5) 5 x + 7 = 77
y comprobación
6) 9 x + 7 = 34
y comprobación
7) x + 9 = 13
y comprobación
8) x - 9 = 105 =
y comprobación
9) x + 6 = 72
y comprobación
10) x - 5 = 7
y comprobación
11) x - 1 = 26
y comprobación
Entregar en una semana.
domingo, 5 de octubre de 2008
Ecuaciones de 1er Grado
Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
INTRODUCCIÓN
En esta unidad didáctica se introducen los conceptos de ecuación e identidad, centrándose en la resolución de la ecuación de primer grado de forma gráfica y numérica. Por último, se muestra cómo este concepto se aplica a multitud de problemas prácticos.
OBJETIVOS
Reconocer ecuaciones e identidades y saber distinguir unas de otras.
Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en forma gráfica y en forma numérica.
Aplicar los métodos de resolución anterior a problemas prácticos.
Descripción y ejemplos.
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1
Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sóla letra (incógnita, normalmente la x).
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4
Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).
Ejemplos : Estos Ejercicios lo resolveran como tarea.
3x + 1 = x - 2
1 - 3x = 2x - 9.
x - 3 = 2 + x.
x/2 = 1 - x + 3x/2
Solución numérica y gráfica.
Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.
Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
En el ejemplo podemos probar con valores:
x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,
x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:
Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..número..Así:
3x - x = -1 - 2 ; 2x = - 3 ; x = -3/2 ó x = -1,5.
Efectivamente: 3(-1,5) + 1 = -1,5 -2 ; -4,5 + 1 = -3,5. ¡cierto!.
Decimos en este caso que la ecaución tiene solución. Pero:
¿qué significa gráficamente esta solución?
Observa la siguiente escena. La línea recta dibujada en rojo representa gráficamente a la ecuación.
El valor de x donde la recta corta al eje X será la solución de la ecuación (observa que es x = -1,5)
Cambia los valores de x en la escena adjunta, "arrastrando" el punto grueso rojo con el ratón.
Observa en esta escena que la ecuación está escrita en la parte inferior de la imagen, en rojo.
Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior:
3x + 1 = x - 2.
- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros:
3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma"
- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:
2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido antes. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando".
Ejercicio 2.
Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo la ecuación: 1 - 3x = 2x - 9.
Combrueba el punto donde la recta corta al eje X. El valor de x debe coincidir con el obtenido numéricamente.
Escribe en la siguiente escena, en la línea donde ahora ves escrita la ecuación anterior, la ecuación de este ejercicio. Fíjate en la ecuación del ejercicio 1 la forma de escribir 3x: se escribe 3*x.
--------------------------------------------------------------------------------
Ecuaciones sin solución.
Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
x - 3 = 2 + x.
Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5 ¿qué significa? Desde luego esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x.
Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.
En la escena siguiente, observarás que no se representa ninguna recta, luego la ecuación no representa a ninguna recta y por tanto no existe el punto de corte con el eje X, es decir, no existe la solución.
Ejercicio 4.-
Resuelve numéricamente, comprobando que no tiene solución, la ecuación:
3x - 2 + x = 5x + 1 - x
En la escena anterior cambia la ecuación actual por ésta, observando que no se representa ninguna recta, luego no existe la solución.
--------------------------------------------------------------------------------
Ecuaciones con infinitas soluciones.
Ejercicio 5.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
2x-1 = 3x + 3 - x - 4
Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿qué significa ahora?. La igualdad que has obtenido es cierta pero se te han eliminado la x. ¿Cuál es la solución?.
Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x!. Compruébalo sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.
En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución).
Gráficamente no podemos hacer una interpretación similar a la de las escenas anteriores ya que el programa no interpreta de ninguna forma la igualdad 0 = 0.
Este tipo de ecuaciones se denominan IDENTIDADES
Ejercicio 6.- Comprueba en tu cuaderno de trabajo que las siguiente ecuación es una identidad.
3x -2 + x = 1 + 4x - 3
--------------------------------------------------------------------------------
Problemas de aplicación. (Más tarea)
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Por ejemplo:
Ejercicio 7.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ?
Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos :
x = edad del hermano menor.
A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será:
x + 3 : edad del hermano mediano
x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor
Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40,
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:
Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.
La solución de la ecuacíón se puede ver también en esta escena
Plantea y resuelve numéricamente, y gráficamente en esta escena, cambiando la ecuación, el siguiente problema:
Ejercicio 8.- En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor ?. (Sol: 12, 24, 108).
--------------------------------------------------------------------------------
Ejercicios finales.
Resuelve numéricamente en el cuaderno de trabajo y gráficamente en la escena que se te presenta a continuación los ejercicios y problemas siguientes:
Ejercicio 9.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) -5x = 12 - x
b) 2(x-7)-3(x+2)+4(x+1)-2 = 0 (¡Ojo con los signos delante de los paréntesis !)
c) 3x - 5 = x/2 (Observa que para eliminar el 2 basta multiplicar toda la ecuación por 2)
d) 3x + 4 - x = 7 + 2x
e) 2x - 1 = 3(x + 2) - x
Ejercicio 10.- Plantea y resuelve los siguientes problemas:
a) El perímetro de un jardín rectángular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín ? (Sol: 9 y 20 m)
b) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
INTRODUCCIÓN
En esta unidad didáctica se introducen los conceptos de ecuación e identidad, centrándose en la resolución de la ecuación de primer grado de forma gráfica y numérica. Por último, se muestra cómo este concepto se aplica a multitud de problemas prácticos.
OBJETIVOS
Reconocer ecuaciones e identidades y saber distinguir unas de otras.
Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en forma gráfica y en forma numérica.
Aplicar los métodos de resolución anterior a problemas prácticos.
Descripción y ejemplos.
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1
Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sóla letra (incógnita, normalmente la x).
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4
Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).
Ejemplos : Estos Ejercicios lo resolveran como tarea.
3x + 1 = x - 2
1 - 3x = 2x - 9.
x - 3 = 2 + x.
x/2 = 1 - x + 3x/2
Solución numérica y gráfica.
Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.
Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
En el ejemplo podemos probar con valores:
x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,
x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:
Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..número..Así:
3x - x = -1 - 2 ; 2x = - 3 ; x = -3/2 ó x = -1,5.
Efectivamente: 3(-1,5) + 1 = -1,5 -2 ; -4,5 + 1 = -3,5. ¡cierto!.
Decimos en este caso que la ecaución tiene solución. Pero:
¿qué significa gráficamente esta solución?
Observa la siguiente escena. La línea recta dibujada en rojo representa gráficamente a la ecuación.
El valor de x donde la recta corta al eje X será la solución de la ecuación (observa que es x = -1,5)
Cambia los valores de x en la escena adjunta, "arrastrando" el punto grueso rojo con el ratón.
Observa en esta escena que la ecuación está escrita en la parte inferior de la imagen, en rojo.
Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior:
3x + 1 = x - 2.
- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros:
3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma"
- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:
2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido antes. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando".
Ejercicio 2.
Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo la ecuación: 1 - 3x = 2x - 9.
Combrueba el punto donde la recta corta al eje X. El valor de x debe coincidir con el obtenido numéricamente.
Escribe en la siguiente escena, en la línea donde ahora ves escrita la ecuación anterior, la ecuación de este ejercicio. Fíjate en la ecuación del ejercicio 1 la forma de escribir 3x: se escribe 3*x.
--------------------------------------------------------------------------------
Ecuaciones sin solución.
Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
x - 3 = 2 + x.
Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5 ¿qué significa? Desde luego esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x.
Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.
En la escena siguiente, observarás que no se representa ninguna recta, luego la ecuación no representa a ninguna recta y por tanto no existe el punto de corte con el eje X, es decir, no existe la solución.
Ejercicio 4.-
Resuelve numéricamente, comprobando que no tiene solución, la ecuación:
3x - 2 + x = 5x + 1 - x
En la escena anterior cambia la ecuación actual por ésta, observando que no se representa ninguna recta, luego no existe la solución.
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Ecuaciones con infinitas soluciones.
Ejercicio 5.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
2x-1 = 3x + 3 - x - 4
Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿qué significa ahora?. La igualdad que has obtenido es cierta pero se te han eliminado la x. ¿Cuál es la solución?.
Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x!. Compruébalo sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.
En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución).
Gráficamente no podemos hacer una interpretación similar a la de las escenas anteriores ya que el programa no interpreta de ninguna forma la igualdad 0 = 0.
Este tipo de ecuaciones se denominan IDENTIDADES
Ejercicio 6.- Comprueba en tu cuaderno de trabajo que las siguiente ecuación es una identidad.
3x -2 + x = 1 + 4x - 3
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Problemas de aplicación. (Más tarea)
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Por ejemplo:
Ejercicio 7.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ?
Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos :
x = edad del hermano menor.
A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será:
x + 3 : edad del hermano mediano
x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor
Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40,
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:
Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.
La solución de la ecuacíón se puede ver también en esta escena
Plantea y resuelve numéricamente, y gráficamente en esta escena, cambiando la ecuación, el siguiente problema:
Ejercicio 8.- En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor ?. (Sol: 12, 24, 108).
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Ejercicios finales.
Resuelve numéricamente en el cuaderno de trabajo y gráficamente en la escena que se te presenta a continuación los ejercicios y problemas siguientes:
Ejercicio 9.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) -5x = 12 - x
b) 2(x-7)-3(x+2)+4(x+1)-2 = 0 (¡Ojo con los signos delante de los paréntesis !)
c) 3x - 5 = x/2 (Observa que para eliminar el 2 basta multiplicar toda la ecuación por 2)
d) 3x + 4 - x = 7 + 2x
e) 2x - 1 = 3(x + 2) - x
Ejercicio 10.- Plantea y resuelve los siguientes problemas:
a) El perímetro de un jardín rectángular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín ? (Sol: 9 y 20 m)
b) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
FUNCION CUADRATICA Y EJERCICOS DE EC. 2do grado
DEFINICION
LA FUNCIÓN CUADRATICA:
Una FUNCIÓN CUADRATICA se llama asi cuando está escrita de la forma:
f(x) = ax2+ bx + c con a≠0
donde los coeficientes a, b y c son números reales y su dominio también
Cada término de ésta fórmula recibe el nombre de:
ax2 → Término cuadrático (contiene x2)
bx → Término lineal (contiene x)
c → Término independiente (no contiene x)
Si le damos diferentes valores a a , b y c, infinitas funciones cuadráticas.
Los gráficos de las funciones cuadráticas tiene siempre un eje de simetría vertical.
La función cuadrática
f(x) = x2
El vértice de esta función cuadrática pasa por el eje de simetría que es el eje Y.
La función cuadrática
f(x) = ax2
En esta función cuadrática varía el coeficiente a
Si a es positivo las ramas van hacia arriba.
Si a es negativo las ramas van hacia abajo.
El valor absoluto de a modifica la abertura de las parábolas.
Cuando menor es el valor absoluto de a, más abierta es la parábola.
Cuánto mayor es el valor absoluto de a, más cerrada es a parábola.
Crecimiento, descrecimiento y extremo:
Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientes y
otro en el que son decrecientes, y la ordenada del vértice es el “valor máximo” o
“valor mínimo” que alcanza la función. Lo llamamos “extremo”.
Es decreciente para los valores negativos de x, y su intervalo es (-∞;0).
Es creciente para los valores positivos de x, y su intervalo es (0;∞).
Desplazamientos de la la función cuadrática:
Desplazamiento vertical:
Si trasladamos el gráfico f(x) = x2 + c en distintos valores positivos o negativos,
Se desplazará hacia arriba o hacia abajo, estos valores no modifican el eje de simetría
pero si la ordenada del vértice y el conjunto imagen de cada función.
Desplazamiento horizontal:
Para desplazar hacia la derecha al gráfico f(x) = x2
obtenemos la función
f(x) = (x-2)2
Para desplazar hacia la izquierda al gráfico f(x) = x2
obtenemos la función
f(x) = (x+a)2
Estos desplazamientos modifican el eje de simetría y la absisa del vértice.
Si desplazamos el gráfico f(x) = x2 hacia la izquierda y hacia arriba
o hacia abajo obtenemos la función f(x) = (x+a)2+ b ó f(x) = (x+a)2- b
Si desplazamos el gráfico f(x) = x2 hacia la derecha y hacia arriba
o hacia abajo obtenemos la función f(x) = (x- a)2+ b ó f(x) = (x-a)2-
Ejercicios a resolver según indicación del docente
1) 30 x2 + 91 x - 116 = 0 x1 = x2 =
2) 2 x2 - 19 x + 9 = 0 x1 = x2 =
3) 18 x2 + 73 x - 85 = 0 x1 = x2 =
4) 7 x2 + 15 x - 18 = 0 x1 = x2 =
5) 25 x2 - 176 x - 192 = 0 x1 = x2 =
6) 8 x2 - 15 x + 7 = 0 x1 = x2 =
7) 12 x2 + 95 x + 77 = 0 x1 = x2 =
8) 31 x2 + 63 x - 90 = 0 x1 = x2 =
9) 21 x2 + 104 x + 80 = 0 x1 = x2 =
10) 24 x2 + 143 x + 115 = 0 x1 = x2 =
11) 18 x2 - 125 x + 102 = 0 x1 = x2 =
12) 6 x2 + 43 x - 40 = 0 x1 = x2 =
13) 18 x2 + 179 x + 153 = 0 x1 = x2 =
14) 26 x2 - 79 x - 100 = 0 x1 = x2 =
15) 4 x2 - 11 x + 6 = 0 x1 = x2 =
16) 15 x2 + 164 x + 140 = 0 x1 = x2 =
17) 30 x2 - 31 x - 58 = 0 x1 = x2 =
18) 20 x2 - 59 x + 38 = 0 x1 = x2 =
19) 6 x2 - 43 x - 40 = 0 x1 = x2 =
20) 11 x2 - 43 x + 30 = 0 x1 = x2 =
21) 6 x2 - 53 x + 40 = 0 x1 = x2 =
22) 23 x2 + 160 x + 132 = 0 x1 = x2 =
23) 5 x2 - 6 x - 8 = 0 x1 = x2 =
24) 9 x2 + 71 x + 56 = 0 x1 = x2 =
25) 16 x2 - 17 x - 30 = 0 x1 = x2 =
26) 24 x2 - 239 x + 207 = 0 x1 = x2 =
27) 29 x2 - 233 x - 252 = 0 x1 = x2 =
28) 4 x2 - 17 x - 15 = 0 x1 = x2 =
29) 18 x2 + 53 x + 34 = 0 x1 = x2 =
30) 10 x2 - 91 x - 90 = 0 x1 = x2 =
31) 23 x2 - 68 x + 44 = 0 x1 = x2 =
32) 28 x2 - 169 x - 189 = 0 x1 = x2 =
33) 8 x2 + 17 x - 21 = 0 x1 = x2 =
34) 21 x2 + 167 x + 140 = 0 x1 = x2 =
35) 13 x2 - 51 x + 36 = 0 x1 = x2 =
36) 10 x2 - 91 x - 90 = 0 x1 = x2 =
37) 31 x2 - 154 x + 120 = 0 x1 = x2 =
38) 29 x2 - 144 x + 112 = 0 x1 = x2 =
LA FUNCIÓN CUADRATICA:
Una FUNCIÓN CUADRATICA se llama asi cuando está escrita de la forma:
f(x) = ax2+ bx + c con a≠0
donde los coeficientes a, b y c son números reales y su dominio también
Cada término de ésta fórmula recibe el nombre de:
ax2 → Término cuadrático (contiene x2)
bx → Término lineal (contiene x)
c → Término independiente (no contiene x)
Si le damos diferentes valores a a , b y c, infinitas funciones cuadráticas.
Los gráficos de las funciones cuadráticas tiene siempre un eje de simetría vertical.
La función cuadrática
f(x) = x2
El vértice de esta función cuadrática pasa por el eje de simetría que es el eje Y.
La función cuadrática
f(x) = ax2
En esta función cuadrática varía el coeficiente a
Si a es positivo las ramas van hacia arriba.
Si a es negativo las ramas van hacia abajo.
El valor absoluto de a modifica la abertura de las parábolas.
Cuando menor es el valor absoluto de a, más abierta es la parábola.
Cuánto mayor es el valor absoluto de a, más cerrada es a parábola.
Crecimiento, descrecimiento y extremo:
Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientes y
otro en el que son decrecientes, y la ordenada del vértice es el “valor máximo” o
“valor mínimo” que alcanza la función. Lo llamamos “extremo”.
Es decreciente para los valores negativos de x, y su intervalo es (-∞;0).
Es creciente para los valores positivos de x, y su intervalo es (0;∞).
Desplazamientos de la la función cuadrática:
Desplazamiento vertical:
Si trasladamos el gráfico f(x) = x2 + c en distintos valores positivos o negativos,
Se desplazará hacia arriba o hacia abajo, estos valores no modifican el eje de simetría
pero si la ordenada del vértice y el conjunto imagen de cada función.
Desplazamiento horizontal:
Para desplazar hacia la derecha al gráfico f(x) = x2
obtenemos la función
f(x) = (x-2)2
Para desplazar hacia la izquierda al gráfico f(x) = x2
obtenemos la función
f(x) = (x+a)2
Estos desplazamientos modifican el eje de simetría y la absisa del vértice.
Si desplazamos el gráfico f(x) = x2 hacia la izquierda y hacia arriba
o hacia abajo obtenemos la función f(x) = (x+a)2+ b ó f(x) = (x+a)2- b
Si desplazamos el gráfico f(x) = x2 hacia la derecha y hacia arriba
o hacia abajo obtenemos la función f(x) = (x- a)2+ b ó f(x) = (x-a)2-
Ejercicios a resolver según indicación del docente
1) 30 x2 + 91 x - 116 = 0 x1 = x2 =
2) 2 x2 - 19 x + 9 = 0 x1 = x2 =
3) 18 x2 + 73 x - 85 = 0 x1 = x2 =
4) 7 x2 + 15 x - 18 = 0 x1 = x2 =
5) 25 x2 - 176 x - 192 = 0 x1 = x2 =
6) 8 x2 - 15 x + 7 = 0 x1 = x2 =
7) 12 x2 + 95 x + 77 = 0 x1 = x2 =
8) 31 x2 + 63 x - 90 = 0 x1 = x2 =
9) 21 x2 + 104 x + 80 = 0 x1 = x2 =
10) 24 x2 + 143 x + 115 = 0 x1 = x2 =
11) 18 x2 - 125 x + 102 = 0 x1 = x2 =
12) 6 x2 + 43 x - 40 = 0 x1 = x2 =
13) 18 x2 + 179 x + 153 = 0 x1 = x2 =
14) 26 x2 - 79 x - 100 = 0 x1 = x2 =
15) 4 x2 - 11 x + 6 = 0 x1 = x2 =
16) 15 x2 + 164 x + 140 = 0 x1 = x2 =
17) 30 x2 - 31 x - 58 = 0 x1 = x2 =
18) 20 x2 - 59 x + 38 = 0 x1 = x2 =
19) 6 x2 - 43 x - 40 = 0 x1 = x2 =
20) 11 x2 - 43 x + 30 = 0 x1 = x2 =
21) 6 x2 - 53 x + 40 = 0 x1 = x2 =
22) 23 x2 + 160 x + 132 = 0 x1 = x2 =
23) 5 x2 - 6 x - 8 = 0 x1 = x2 =
24) 9 x2 + 71 x + 56 = 0 x1 = x2 =
25) 16 x2 - 17 x - 30 = 0 x1 = x2 =
26) 24 x2 - 239 x + 207 = 0 x1 = x2 =
27) 29 x2 - 233 x - 252 = 0 x1 = x2 =
28) 4 x2 - 17 x - 15 = 0 x1 = x2 =
29) 18 x2 + 53 x + 34 = 0 x1 = x2 =
30) 10 x2 - 91 x - 90 = 0 x1 = x2 =
31) 23 x2 - 68 x + 44 = 0 x1 = x2 =
32) 28 x2 - 169 x - 189 = 0 x1 = x2 =
33) 8 x2 + 17 x - 21 = 0 x1 = x2 =
34) 21 x2 + 167 x + 140 = 0 x1 = x2 =
35) 13 x2 - 51 x + 36 = 0 x1 = x2 =
36) 10 x2 - 91 x - 90 = 0 x1 = x2 =
37) 31 x2 - 154 x + 120 = 0 x1 = x2 =
38) 29 x2 - 144 x + 112 = 0 x1 = x2 =
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